Khi có cơ hội được nghiên cứu sâu vào xác suất thống kê, cá nhân tôi luôn đau đáu để tìm một cách giải thích trọn vẹn mô hình xác suất của cờ bạc, tại sao mỗi ván chơi được thiết kế hoàn toàn công bằng thì người thắng cuối cùng vẫn là nhà cái? Lúc còn nhỏ, tôi vẫn luôn được người lớn giải thích là nhà cái sẽ luôn gian lận, nhưng thực tế thì ở các ván chơi cờ bạc mà không có gian lận thì nhà cái vẫn là người thắng cuối cùng. Kể cả nhà cái có tham gia trò chơi (trực tiếp thắng/thua), hay chỉ đứng giữa thu tiền xâu (tiền phí) từ người thắng cuộc.
Đối với mô hình chủ sòng bạc chỉ đứng ra làm trung gian, thu phí người thắng, miễn phí cho người thua. Giả định tất cả con bạc đều có thể chơi với số lượng ván bài rất lớn, thì theo thời gian, tổng số tiền của con bạc sẽ giảm đi, còn tiền thu được của chủ sòng sẽ lớn lên. Trong một cuộc chơi như vậy, khi nào có ít nhất một con bạc phá sản, thì trò chơi sẽ dừng lại. Với mô hình này thì rõ ràng chủ sòng bạc luôn chắc thắng, bất kể trong tình huống nào, nên chúng ta sẽ không phân tích sâu vào mô hình này. Mà sẽ đi sâu vào mô hình mà chủ sòng cũng tham gia chơi bạc, vì sao họ sẽ vẫn luôn thắng và càng ngày càng lớn mạnh.
Chuỗi Markov hay xích Markov
Vào đầu thế kỷ 20, một nhà toán học người Nga tên là Andrey Markov đã nghiên cứu một công trình tổng quát về chuỗi các sự kiện có xác suất xảy ra, n ếu các sự kiện diễn ra hoàn toàn độc lập với nhau (xác suất thắng/thua của ván bài này không phụ thuộc vào ván bài khác), và sự kiện diễn ra liên tục với rất nhiều lần lặp đi lặp lại, thì kết quả cuối cùng sẽ là gì, xác suất một biến cố xảy ra sau n lần lặp là bao nhiêu (kết quả xác suất con bạc sẽ thắng/thua sau n ván là bao nhiêu). Bài viết này sẽ không chứng minh lại nghiên cứu của Markov mà chỉ kế thừa kết quả, chi tiết về nghiên cứu có thể đọc thêm tại Wikipedia.
Trong một chuỗi cờ bạc, tại mỗi ván bài, trạng thái của một con bạc sẽ có thể chuyển biến thành một trong ba giá trị: thắng, thua, phá sản. Đối với trạng thái thắng hay thua, thì con bạc sẽ chơi tiếp ván sau, nhưng nếu rơi vào trạng thái phá sản thì con bạc sẽ dừng lại và ngưng cuộc chơi, cả chuỗi Markov sẽ kết thúc.
Giả định năng lực đánh bài của tất cả con bạc là như nhau, tức xác suất thắng hay thua là 50-50. Để đơn giản, thì ta chỉ xét trò chơi 2 người (nếu chơi 4 người và xem người tới nhất/nhì là thắng, tới ba/tư là thua thì xác suất vẫn là 50-50, nếu người thắng nhất lấy hết thì xác suất thắng còn 25%, thua 75%).
Vận dụng chuỗi Markov, gọi:
- \(i\): Số vốn ban đầu của con bạc.
- \(N\): Tổng số vốn mục tiêu (con bạc thắng lớn khi đạt tới N và thua sạch khi về 0).
- \(p\): Xác suất thắng trong mỗi ván cược.
- \(q = 1 - p\): Xác suất thua trong mỗi ván cược.
Xét trò chơi công bằng
Đối với trò chơi công bằng, tức \(p = q = 0.5\) (xác suất thằng bằng xác suất thua, bằng 50%), thì xác suất thắng cuối cùng của con bạc được tính như sau:
\[ P_{\text{win}} = \frac{i}{n} \]Ý nghĩa: Xác suất thắng của con bạc đúng bằng tỷ lệ giữa số vốn hiện có và mục tiêu cần đạt (nếu chơi mãi mà không có mục tiêu thì số này là số vốn của đối thủ). Nếu bạn có 10 đồng và mục tiêu lên 50 đồng (hoặc đối thủ chỉ có 50 đồng và sẽ nghỉ khi hết vốn), xác suất thắng chỉ là \(\frac{10}{50} = 20\%\).
Xét trò chơi có xác suất thắng, thua khác nhau
\[ P_{win} = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^i}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^N} \]Ý nghĩa:
- Nếu \(p < 0.5\) (tức là nhà cái có lợi thế): Xác suất thắng sẽ rất nhỏ và tiến tới 0 khi số vốn \(i\) nhỏ hoặc mục tiêu \(N\) lớn.
- Nếu \(p > 0.5\) (con bạc có lợi thế): Xác suất thắng sẽ cao hơn đáng kể.
Trường hợp đối thủ/sòng bạc có số vốn vô tận (N → ∞)
Nếu con bạc chơi liên tục cho đến khi phá sản, hoặc đạt mục tiêu thắng toàn bộ tiền của đối thủ, trong điều kiện đối thủ có tiềm lực vô tận:
- Nếu \(p ≤ 0.5\): Xác suất thắng cuối cùng bằng 0 (chắc chắn sẽ phá sản về lâu dài).
- Nếu \(p > 0.5\): Xác suất thắng là \(1 - \left(\frac{q}{p}\right)^i\).
Ý nghĩa:
- Trong một trò chơi công bằng (\(p = 0.5\)), nếu đối thủ có tiềm lực tài chính vô hạn (hoặc rất lớn so với mình), con bạc chắc chắn sẽ phá sản về lâu dài.
- Trong một trò chơi bất công, nếu tỷ lệ thắng của đối thủ cao hơn, và đối thủ có tiềm lực tài chính vô hạn, con bạc chắc chắn sẽ thua trắng về lâu dài.
- Trong một trò chơi bất công, con bạc có thể có xác suất thắng đối thủ có tiềm lực vô hạn, khi và chỉ khi, xác suất thắng của con bạc trong từng ván bài là cao hơn 0.5 (50%).
Xét lại trường hợp trò chơi công bằng bằng mà không dùng Markov
Trò chơi công bằng cũng có thể lý giải bằng tổ hợp xác suất thống kê cơ bản như sau, giả sử bạn đang có 10 đồng, còn đối thủ có 20 đồng. Mỗi ván chỉ cược 1 đồng cố định, xác suất để bạn thua trắng liên tục 10 ván và nghỉ chơi là \(0.5^{10} = 0.00098 = 0.098%\), còn xác suất để đối thủ của bạn thu trắng liên tục 20 ván và nghỉ chơi là \(0.5^{20} = 0.00000095 = 0.000095%\). Rõ ràng tỷ lệ thua trắng của bạn cao hơn đối thủ của bạn 1031 lần. Nếu bạn ỷ y tỷ lệ thua trắng của bạn là rất nhỏ, chỉ 0.098%, khó để xảy ra, nhưng lưu ý đây mới chỉ là xác suất khi bắt đầu chơi.
Xác suất để có 10 ván thua liên tục khi chơi 100 ván sẽ cao hơn so với chỉ chơi đúng 10 ván, và được tính như sau. Gọi:
- \(n = 100\) là tổng số lần chơi.
- \(F(n)\) là số chuỗi kết quả có độ dài \(n\) mà không chứa bất kỳ chuỗi 10 lần thua liên tiếp nào.
Công thức xác suất tổng quát:
\(P=1-\frac{F(n)}{2^{n}}\)
Xác suất cần tìm:
\(P=1-\frac{F(100)}{2^{100}}\approx 0,044137\text{\ (tức }4,4137\%)\)
Cách tính \(F(n)\) bạn có thể xem thêm ở Khan Academy.
Còn đối thủ của bạn phải thua liên tiếp 20 lần thì mới phá sản và dừng cuộc chơi, thì xác suất xảy ra trong 100 ván chơi của họ là 0.00391%, tức thấp hơn bạn 1128 lần.
Lưu ý, cách tính này chỉ xét thua liên tục 10 lần mà xét thiếu trước hợp có thắng và thua xen kẽ, ví dụ thua 9 lần tiên tục, rồi thắng 1 lần, rồi thua tiếp 2 lần thì vẫn phá sản. Cách tính này chỉ giúp đơn giản hóa vấn đề và đưa ra tỷ lệ phá sản giữa 2 người chơi chứ không phải là xác suất phá sản chính xác của bạn, xác suất thật sẽ còn cao hơn con số đó, do đã xét thiếu trường hợp. Nếu cần kết quả chính xác thì chuỗi Markov là lựa chọn đơn giản và dễ sử dụng nhất.
Kết luận
Vận dụng kết quả của Markov, chúng ta có thể hiểu lý do tại sao một con bạc nếu theo đuổi cờ bạc đủ lâu thì sẽ luôn trắng tay. Ngược lại, thì nhà cái luôn thắng. Và chúng ta có thể biết được nguyên nhân và giải thích một cách khoa học.
Quy luật chuỗi Markov không chỉ ứng dụng trong giải thích chuỗi cờ bạc mà còn trong bất kỳ chuỗi sự kiện nào. Dựa trên lý thuyết này, một người giỏi về xác suất thống kê có thể biết được lợi thế chiến thắng của mình là bao nhiêu, từ đó đưa ra quyết định tham gia hay rút lui sớm khỏi một cuộc chơi hay một kế hoạch kinh doanh.
Ngoài ra, người hiểu về chuỗi Markov có thể tham gia một ván bài với tỷ lệ thắng cuối cùng cao hơn. Ví dụ, vốn 100 đồng thì đặt mục tiêu thắng 1 đồng là nghỉ chơi, để đạt được tỷ lệ thắng cuối cùng là 99%. Lưu ý, vẫn có 1% xác suất thua trắng 100 đồng mặc dù mục tiêu chỉ là 1 đồng. Và nếu chỉ tới casio một lần duy nhất thì xác suất thua trắng 1% là nhỏ, nhưng tới casino nhiều lần thì xác suất có 1 lần thua trắng và mất tất cả sẽ lại tăng lên.
